第1章 期权定价
第1章 期权定价
并不是说交易期权就一定需要一个定价模型。例如，如果交易员认为合约标的的价格会上涨超过看涨期权的行权价，并且超过行权价的幅度会远大于其所支付的权利金，他们就可以买入这个看涨期权。这是期权最简单和最直接的应用。比它稍微复杂一点的是，我们可以在没有定价模型的情况下交易波动率。如果交易员认为合约标的价格在到期时与行权价的差距会小于某个跨式价差的价格，那他们就会卖出这个跨式价差。诸如此类的期权头寸例子还有很多，交易员可以尝试通过构建类似的头寸来从其对合约标的未来价格分布的看法中获利。不过，如果我们想以合约标的在到期前的行为为基础来展示我们的观点，我们就需要一个定价模型了。
模型是一个框架，我们可以利用它来比较不同期限、合约标的和行权价的期权。我们不需要这个模型多么真实，也不需要它能特别精确地反映现实的交易环境。期权是针对价格快速变化的合约标的的赌局，具有高杠杆、非线性和与时间相关的特点。定价模型的主要目的是把这些价格用一种更加缓慢移动的系统来表示。
能够完美捕捉金融市场所有特征的模型是几乎不存在的。再者，即使存在，也会因为过于复杂而难以调试和使用。所以我们需要对现实世界进行适当简化，从而对其进行建模。此外，对于任何模型，我们都需要留意模型中所使用的简化假设以及模型的适用性。
布莱克–斯科尔斯–默顿模型
这里我们会对布莱克–斯科尔斯–默顿（BSM）模型进行分析。对期权交易员而言，BSM模型就是他们思考的概念框架，就像我们用母语思考一样，经验丰富的衍生品交易员都是用BSM语言来思考的。交易员所使用的模型与诸如物理学等硬科学上所使用的模型有很大的区别。物理学中的模型是用来描述现实世界的，模型至少在某种程度上是正确的，然后才用来预测。不同模型之间的正确度并不需要一致。一些成功的理论实际上是基于高度简化的唯象模型。卢瑟福的原子模型就是一个著名的例子，该模型假设电子沿轨道绕原子核旋转，就像行星沿轨道绕太阳运行一样，但行星模型并不是原子结构的精确描述。
交易模型是完全不同的。从对现实世界的精确表述来看，BSM模型并不好，因为它相对于现实有很大的差距，模型中的大多数假设都过分简化了。说它是一个好模型，则是因为我们对它的这些缺点都已经很好地了解了，并且它给出的结论从直觉上来看也是合理的。这就足够了，它已经够用了。继续讨论这个模型是正确的还是错误的，就像说德语是错误的，而法语是正确的一样毫无意义。
BSM公式的标准推导过程在许多书中都能找到（例如，Hull，2005）。详细的推导过程虽然能够让我们清楚地了解模型中的数学细节和所采用的金融学假设，但它通常无法明确告诉我们作为一个交易员应该怎么做。交易员的目的是识别被错误定价的期权并且从中盈利。我们必须牢记这一点。那么BSM公式是怎么帮助我们实现这一目标的呢？
反过来思考这个问题。首先我们假设交易员持有一个delta中性组合，它是由1份看涨期权和delta份股票空头所组成的。接下来我们将应用有关期权动态变化的知识来推导BSM公式。
该组合是delta中性的，对期权交易员而言，这一特征显而易见。事实上，早在BSM模型出现之前，交易员们就认识到了delta对冲的概念（关于这一段有趣的历史，可以参考Haug，2007a）。不过即使是第一次接触该概念的读者，也可以很容易理解这一点。随着合约标的价格上涨，看涨（看跌）期权的价值会增加（下降）。因此，原则上我们可以用一定比例的合约标的来抵消期权的这种方向性风险。认识到这一点很容易，但具体应该用多少数量的合约标的，这个问题就不是那么简单了。
在对合约标的的收益率所服从的分布做出任何假设之前，我们可以先列出期权的一些必然具备的属性。这些属性很容易就可以在金融市场中被观察到。
·当合约标的价格上涨（下跌）时，看涨（看跌）期权变得更有价值。因为此时期权成为实值期权的可能性也越高。
·看涨（看跌）期权的价值永远都不会比合约标的的价格（行权价格）更高。
·随着时间流逝，期权价值将下降。这是因为期权变为实值期权的时间减少了。
·期权价值必然与不确定性正相关。如果合约标的没有风险，那人们也就没有必要花钱购买某个在特定状态下才会有价值的产品。期权之所以有价值，是因为未来的不确定性。因此，不确定性越强，期权的价值也就越高。
·随着利率上升，期权的价值会下降。这是由于我们需要融资来买入期权，当利率上升，我们的融资成本也随之上升（此时我们没有考虑利率变化对合约标的价格的影响）。
·股息发放（以及储存或融券成本）对看涨和看跌期权有不同的影响。期权持有人不能收到股息。这意味着从期权定价的角度来看，股息发放会降低标的股票的有效价格。因此股息发放会增加看跌期权的价值，降低看涨期权的价值。
我们在前文已经提到，即便在BSM公式问世之前，期权交易员就已经意识到，通过持有期权和合约标的的组合能够降低方向性风险。那么让我们先假设持有一个delta中性组合，其价值为：
其中，C是期权的价值，St是时刻t合约标的的价格，Δ是我们持有的股票空头的数量。在下一个时刻，合约标的的价格变成St+1。投资组合的价值变化由期权和股票头寸的价值变化，以及为了构建这个组合而产生的融资成本所构成。因此组合的价值变化为：
最后一项之所以为正，是因为需要考虑我们的现金流。我们买入期权，因此我们需要为该成本融资。但我们卖空了股票，因此我们可以由此收到现金。经过单位时间间隔，我们会由此收到rΔSt的利息。
另外要注意的是，由于假设时间间隔足够小，因此我们可以认为delta在此期间内没有发生变化。
合约标的价格变化所导致的期权价格变化可以通过二阶泰勒展开公式来近似。另外我们知道，当“其他因素不变”时，由于时间流逝而导致的期权价值变化可以用θ来表示。
在我们的证明中，我们假设需要考虑价格的二阶导数，但对于时间则只需考虑其一阶导数。为什么这样的选择是有效的呢？忽略价格的更高阶导数事实上并不合适。我们之所以这样做，是为了得到BSM公式。在更正式的推导中会说明，这与合约标的收益率的正态分布假设有关。这是我不可忽略的主要的简化。我会在稍后进一步讨论这个问题。关于我们只需要更少的关于时间的导数的假设，则更容易理解。合约标的价格变化是随机的，因此这是一个风险来源。而时间变化是可预期的，因此时间流逝对期权的影响则仅仅是一种成本。
因此可以得到公式：
或者：
其中Γ是期权价格对合约标的价格的二阶偏导数。式（1-4）给出了投资组合的价值变化，或者说当股票价格发生微小变化时，交易员所获得的利润。它由三个部分组成。
（1）第一部分是gamma效应。由于gamma为正，因此期权持有者能够盈利（这部分利润大致相当于标的股票价格变化平方的一半）。
（2）第二部分是theta效应。随着时间的流逝，期权持有者会损失一部分钱。
（3）第三部分代表融资的影响。持有一个已对冲的期权多头的组合相当于借出资金。
另外，我们将在第2章中看到，从平均上说：
其中σ是合约标的收益率的标准差，通常也被称为波动率。因此我们可以将式（1-4）写成如下形式：
因为这个投资组合是无风险的，而且是用借入的资金来进行融资，因此我们可以认为这个组合并不能够获取任何非正常利润，所以式（1-5）的值应等于0。因此，期权的公允价值应满足等式：
在继续推导之前，我们需要明确这个非正式推导过程中所隐含的一些假设。
·为了得到式（1-1），我们需要假设市场上存在可交易的合约标的。事实上我们是假设该资产可被卖空，同时能够以任意交易量进行交易，而不会产生任何交易成本。
·式（1-2）假设做空合约标的所获得的资金的再投资利率，与借入购买看涨期权的资金的利率相同，并且我们假定这个利率是不变的。
·式（1-3）假设合约标的的价格变动是连续和平滑的。同时正如我们先前所提及的，我们考虑关于价格的二阶导数，但只考虑关于时间的一阶导数。这是个限制性非常强的假设，我们稍后会对其进行深入分析。
然而，值得注意的是，关于合约标的价格是否会发生漂移，我们并没有做任何假设。我们只是天真地认为，如果一个金融工具的价值会随着合约标的价格的上升而升值，那么它也会受到合约标的价格漂移作用的影响。但是只要把期权和合约标的按合适的比例进行组合，就可以抵消漂移的影响。由于漂移可以被对冲掉，所以期权的持有人并不要求补偿这部分风险。在本章后面讨论对冲时我们将会发现，在现实世界中，资产价格的连续性假设是不成立的，因此方向依赖（directional dependence）的现象会再度出现。
我们注意到，虽然合约标的价格变化并没有出现在式（1-6）中，但资产价格变化的平方却通过波动率项反映在式（1-6）中。所以delta中性组合的交易员是否能够获利的关键就在于合约标的价格的变化幅度。无论资产收益率是不是服从正态分布，上述结论都成立。只要资产收益率的方差是有限的，这个结论就成立。事实上，如果在泰勒展开式中加入了价格的高阶项，我们会发现，期权价格的变化同样也依赖于更高阶的合约标的价格变化量。
在适当条件下，式（1-6）对许多金融工具都成立：欧式期权和美式期权，看涨期权和看跌期权，以及许多奇异期权。此式能通过任意一个普通的偏微分方程解法求解。这些解法的封闭形式（若存在封闭解）可以在很多书（如Hull，2005，Sinclair，2010）中找到。交易员应当理解这些解与定价变量和波动率参数之间的关系。我假定大家对此非常熟悉。
在上面的分析中，我们站在交易员的角度，利用交易员对合约标的价格和时间变化如何影响期权价格的了解，推导出了BSM公式的一种形式。这样一来，我们便知道如何从波动率的角度来交易期权。
到目前为止，我们已经知道期权的公允价值与合约标的收益率的标准差有关。如果期权和合约标的都公开上市交易，那么我们将有两种方法来应用所学的知识。
（1）通过估计期权存续期内的波动率计算期权的理论价格。
（2）利用期权的市场价格计算其隐含的标准差或波动率。
如果我们估计的波动率和市场所隐含的波动率显著不同，那就可以进行相应的期权交易。如果我们预测的波动率比隐含波动率高，我们则可以买入期权，并在合约标的市场进行相应的对冲。预计的利润将取决于隐含波动率与已实现波动率的差。式（1-6）表明这时的收益与两个波动率的差额是成比例的，即
另外一个可行的方法是用vega来计算delta中性组合的收益。vega用于衡量期权价值对合约标的价格波动率的敏感程度，即隐含波动率每变化一个百分点（比如，从19%变到18%）时，期权价值相应的变化量。这意味着当我们以σ隐含购买期权，如果波动率随后立即上升到σ时，我们的收益为：
通过对式（1-7）求关于时间的积分，以及利用gamma和vega之间的关系，我们可以证明得到式（1-7）的瞬时利润和式（1-8）的总利润之间的关系，不过知道这一点并没有什么意义。gamma和vega之间的关系为：
假设我们持有一份看涨期权C，其初始定价基于σ隐含，然后变化到σ。定义
隐含。那方差的一阶导数就为：
其中：
因此式（1-10）中的第二项，即损益项（P/L或P&L）就为：
其中最后一步的抵销是基于波动率变化不大的现实假设而实现的。这个推导过程并不严密，但其结论却普遍成立。
这种形式的损益公式对交易员来说更有用，相对于瞬时盈利，他们对总盈利更有兴趣。它也可以简化地认为损益与波动率呈线性关系。如果我们不得不持有期权至到期，并且假设已实现波动率的平均值为σ，那我们也可以获得同样金额的盈利，但这只是平均意义上的盈利。“vega利润”是通过我们不断地再平衡delta来实现的，其数值等于我们不断对冲delta盈利之和。
这里存在的一个问题是，gamma与期权的在值状态高度相关，很明显当合约标的的价格变化时，gamma也会随之变化。所以盈利是很不稳定的，并且也是路径依赖的。我们将在第7章继续研究这个问题。
在构建模型时，使用简化假设是完全可以接受的。但如果假设条件错得离谱，以至于模型连最基本的参考作用都没有，那这样的假设就完全不能被接受。因此在继续深入讨论之前，我们需要了解所使用的假设都有哪些局限性。
模型假设
假设合约标的是可交易的
我们假设合约标的是一种可交易的资产。虽然BSM公式已经被拓展至这个假设不成立的情形，例如实物期权的定价。但由于我们主要关心的还是股票和期货的期权，所以这个假设不算苛刻。然而，对于很多可以创设期权的合约标的而言，它们的流动性却是一个问题，因此可交易这个假设并不总是清晰明了的。如果遇到不能按照我们所需的数量来交易合约标的，我们就会陷入困境。
假设合约标的不支付股息或者不存在储存费用
我们假设合约标的不支付股息或其他收入。请注意，在式（1-2）中我们引入了无风险利率r，它与融资买入看涨期权和融出用于对冲的组合（ΔS）都有关。不过事实上并不完全如此。
如果合约标的支付股息为q，那等式的第二项就需要用r-q来代替。
对于指数来说，连续股息率常常是一个合适的近似，但个股支付的却是离散股息。因此我们需要假设个股价格减去股息的贴现值之后的部分才是真正的合约标的，这会让等式更复杂，但并没有改变本质。
卖空者很少能够收到卖空资产的全部金额。卖空个股是经纪商给其客户的一种特权，而获得这个特权常需要支付费用。通常可以通过假设一个虚拟的股息率来反映这部分费用。
如果合约标的为实物商品，那就存在一个为比率为q*的仓储费用，在对冲中考虑这个费用之后的利率就变为r+q*。
如果合约标的为期货，那对冲的融资成本就为零。这样的情况下，与对冲有关的利率就会为零。
假设合约标的可以做空
如果合约标的是期货，这个假设完全没有问题。但对于股票来说，做空会比较困难。此外，即使做空可行，由于借入股票需要支付费用，因此卖空者很少能够获得卖空投资的全部金额。这可通过假设合约标的存在一个额外的股息率来综合考虑，其上限为与卖空股票有关的惩罚费用。
假设存在单一不变的利率
利率存在买卖价差。我们不能把卖空获得的资金按借款利率投资出去。可以修改BSM公式来将其纳入考虑之中（Bergman，1995），但会让该方程变得很复杂。
另外，利率也不是恒定不变的。即使这是BSM模型的一个假设，但该理论仍被大量用于给债券和货币市场利率期权定价。如果该假设是有效的，那就不会有波动。我们可以忽略这个问题，因为至少对于存续期很短的期权来说，相对于其他风险而言，利率变化所导致的风险（rho）是不显著的。
假设不存在税收
我们假设不存在税收。在现实中，不同的市场参与者可能会面临不同的纳税义务，这会产生交易机会和陷阱。当支付股息时，这样的情况就经常发生，因为外国投资者所面临的税率与本地投资者有很大的差异。交易员需要记住应基于期权对其自身的价值来对期权定价，而不是考虑期权对边界投资者的价值，而后者是市场会采用的定价方式。
可以交易任何数量的合约标的
上文已经提到过，如果我们的交易量超过市场容量，就会产生问题。但在推导中，我们仍假设可以交易任意小的数量，包括零点几股。显然这是不可能的，并且我们的经纪商可能会有最低收费标准，这就会让小于100股的小额交易变得不经济。我们会在第六章讨论离散间隔对冲的方法时讨论这一现实的限制。
交易合约标的不存在任何费用
这与前一点密切相关。交易合约标的通常会产生费用：手续费、清算费或买卖价差等。这些费用会抑制我们进行连续对冲（如果这是可行的话）的念头，因为我们在通过对冲来降低风险时，需要平衡这样做的费用。我们会在第6章进一步讨论这个问题。
波动率为常数
在我们推导BSM的过程中，我们假设波动率为常数，而不是关于时间或合约标的价格的函数。事实上，当我们开始讨论vega时，隐含波动率的变化所带来的影响就强调了这一假设的不一致性。这个基本假设不仅是不正确的，而且我们将会积极地交易波动率的这些变化。虽然也有一些模型考虑了波动率的变化，但我们还是选择使用BSM模型，并记住这个缺陷。这和我们的交易哲学是一致的，即模型只是关于我们想法的一个框架，而不是对现实市场的精确描述。
对收益率分布的假设
我们假定波动率是描述合约标的收益分布的唯一参数。资产收益的均值可以被对冲掉，而高阶矩则可以忽略不计。这和假设收益率服从正态分布或价格服从对数正态分布是相同的。在第3章中，我们考察了真实市场的统计数据，然后发现我们的假设是不成立的。这一不成立的事实会产生一个被称为“波动率微笑”的著名现象，它表明隐含波动率是行权价的函数。本质上，隐含波动率是我们在一个错误的公式中填入的一个错误数字，来得到一个正确的期权价格。这一问题可通过多种方法来改进。在第5章中，我们提供了一些方法来度量隐含的偏度和峰度。
我们还假设合约标的价格的变化是连续的，这样我们就可以不断地调整对冲头寸。但这一假设是不成立的。有时候合约标的价格会出现大幅跳空。例如，一家生物科技公司的股价在一天内跳空70%～80%并不算稀奇。为了应对这样的情况，有学者（Merton，1976）对BSM公式做了修正，但这并不是我们讨论的重点。这些价格跳跃是无法对冲的，复制策略也会彻底失败。我们必须学会使用其他期权来对冲这部分风险。这就是交易员在实践中需要用到的半静态对冲策略。
结论
BSM模型是非常稳健的。对于推导公式时所做的那些假设，大部分都可以适当放松而不至于影响模型的使用。但需要注意，我们只是把BSM模型作为定价模型，而不是作为风险控制方法来使用。将快速变化的期权价格转化成一个缓慢变化的参数（隐含波动率）是非常有用的，它可以与我们所估计的已实现波动率进行对比。它同样可以用来比较不同的期权。即使大部分假设都是不正确的，但它们对于50-delta看涨期权和40-delta看涨期权的价格的影响是相似的。这让我们所估计的期权价差的准确性会比估计单个期权时更高。如果稍微模糊一点，我们还可以进一步比较不同合约标的的期权。
但是风险控制必须单独处理。交易员永远都不应该用正态分布的各阶矩来考虑极端风险。诸如“当IBM公司股价变动5个标准差时会怎么样”这样的问题，只有在正常情况下才会有用（这里的正常情况是指股价变动服从正态分布的情形）。我们同样应当清楚，当IBM公司股价跌去50%时会发生什么，尽管这样的情形从未发生过。默顿认为这些极端的价格跳空可以通过分散化来去除（Merton，1976）。遗憾的是，交易员也只能希望这个结论是正确的。尾部风险可以通过交易一些深度虚值期权来控制，并且控制单个资产在整个组合中的比例尽量小同样有帮助。但总体上，承受风险才能获得收益。我们需要区分出，我们在哪些风险上有优势，而哪些没有。另外，永远不要用定价模型来衡量风险的大小。
本章小结
模型并不是魔法。特别地，期权定价模型并不能真正对期权“定价”。它们只是将期权价格转化为一个更缓慢变化的参数——隐含波动率。这种简化让我们可以比较不同行权价、存续期和合约标的的期权。
BSM模型是最古老、经受最多检验的模型之一。通过足够的特殊修正，它可以用来对绝大多数交易所上市期权进行定价。虽然并不是一定要选择这个模型，但由于其稳定性、简便和已成为期权市场中的公共语言等原因，我推荐使用这个模型。它最重要的特性有：
·合约标的价格的漂移项可以被对冲掉；
·合约标的价格变化的波动则无法被对冲掉；
·需要时刻记得隐含在该模型之后的所有假设；
·BSM模型是一个用来选择交易机会的模型，而不是一个用来控制风险的模型。
