欧式期权定价的二叉树方法中的等价
第 19 卷第 3 期 2 0 0 6 年 9 月 青 岛 大 学 学 报 ( 自 然 科 学 版 )JOURNAL OF QINGDAO UNIVERSITY ( Natural Science Edition) Vol. 19 No. 3Sep. 2 0 0 6文章编号:10061037(2006)03000106 收稿日期: 2006 作者简介: 张丕一(1969 ) ,男 ,讲师 , 硕士 ,从事概率论与数理统计的研究。0804欧式期权定价的二叉树方法中的等价鞅测度严格构造及其应用张丕一(青岛大学 数学科学学院 , 青岛 266071)摘要: 文中在(Ω , F)上严格构造了与概率测度等价的鞅测度 ,并导出了期权定价公式 ;进一步给出利用 F 分布查表计算期权定价的公式。关键词: 二叉树 ; 等价鞅测度; 期权定价; F 分布中图分类号: O211. 1 ; O211. 9 文献标识码 : A众所周知 ,在期权定价的连续性模型中引入了等价鞅测度,从而证明了折现过程是鞅 ,并利用此结论给出期权定价公式 ,因此人们试图在离散型模型中亦建立一个与 P 等价的鞅测度 ,证明折现过程是一个鞅。人们虽然猜想可以证明:EQ{StnB tn| σ (St0, ⋯, Stn- 1} =Stn- 1B tn- 1(1)这里 S t 表示 t 时刻的有风险的原生资产的价格 ,B t 表示无风险的资产 t 时刻的价格 ,说明了{StnB tn} 在 “ Q”概率测度下是一个鞅 ,但 “ Q” 的定义仅效仿了单时段双状态模型模糊笼统的Q(Stn= S0 u) =ρ – du – d, Q( Stn= S0 d) =u – ρu – d(2)的定义形式。 一般文献中给出的 Q的定义实际上是先承认 Q 已建立好而给出(2) 式 ,其实质上是 P概率测度下 S T 的分布列。 但从理论上讲 ,Q 应是定义在可测空间(Ω , F) 上的概率测度。 在文献中没有指出严格定义 ,更谈不上严格证明 P～ Q 及(1) 成立 ,因此我们试图从理论上来修改这个数学缺陷 ,从数学上给出一个完美无缺的解释 ,全文共分两部分 :其一,Q 的严格数学定义和(1) 式的严格证明 ,从而给出期权定价公式;其二 ,对期权定价公式的表达式根据需要做了一个改造 ,使之在计算上更加简单。1 概率 Q 的严格构造和(1) 式的严格证明1. 1 单时段双状态模型 — — —二叉树的最简情形S0S0 uS0 d u >ρ > d,其中ρ 为利率定义 1 在(Ω , F) 定义集合函数 ,对任意的 A ∈ F,规定Q(A) =∫A
ρ – d定理 1 Q 是(Ω , F) 上的概率测度 ,从而(Ω , F,Q) 是个概率空间 ,而且 Q 与 P 等价。证明 :结论显然成立。u – dI (ST= S0u)P(S T = S0 u)+u – ρu – dI (ST= S0d)P(S T = S0 d)
d P